间隔问题
小朋友,假如给你一把锋利的剪刀,让你把一条丝带剪成两段,你需要剪几次才能完成这项任务呢?是1次还是2次?正确答案应该是1次。
像上面这类问题就是我们常说的“间隔问题”。常见的间隔问题包括植树、插旗子、上楼梯、锯木头、排队、敲钟等。
解这类题的关键在于把握间隔数(段数)和点数(即树的棵数、旗子的面数等)之间的关系。常用的关系有以下几种:
1.不封闭路线上,两端有“点”:点数=间隔数(段数)+1。例如,5棵行道树之间有4个间隔。
2.不封闭路线上,一端有“点”:点数=间隔数(段数)。例如,在某座房子旁每隔一段距离种1棵树,种5棵树有5个间隔。
3.不封闭路线上,两端没有“点”:点数=间隔数(段数)-1。例如,将一条丝带剪成5段,需要剪4次。
4.封闭路线上:点数=间隔数(段数)。例如,将一个圆环据成5段需要锯5次。
除了上面提到的几种间隔问题,还有许多由它们延伸出来的间隔问题也十分有趣。同样的,只要抓住各部分之间的关系,解决这些问题也就很简单啦。
【例1】大熊要盖一座木房子,需要把一根木头锯开。
(1)如果大熊要把一根木头锯成5段,需要锯几次?
(2)如果大熊锯1次木头需要3分钟,那它把一根木头锯成5段共需要多少分钟?
【思路导航】先根据题意画出筒单的示意图,我准段数、次数(点数)之间的关系,然后根据所求问题进行正确的解答。
从示意图中我们可以看出:锯1次,木头分成了2段;锯2次,木头分成了3段;锯3次,木头分成了4段;锯4次,木头分成了5段。
由此可知,次数(点数)=段数-1。所以,要把一段木头锯成5段,需要锯5-1=4(次)。
如果锯1次需要3分钟,那么锯4次就是4个3分钟,也就是12分钟。具体解题过程如下。
(1)解：1=4(次)
答:需要锯4次。
(2)解:3+3+3+3=12(分钟)或3×4=12(分钟)。
答：一共需要12分钟。
【例2】假设小公鸡把一根木头锯成2段需要5分钟,那么小公鸡把这根木头锯成4段需要多少分钟?
【思路导航】根据题意得出下面的示意图。
从示意图中我们可以看出,把一根木头锯成2段需要锯1次,铝成4段需要锯3次。
题中告诉我们锯1次需要5分钟,锯3次的时间应该是5分钟的3倍,也就是15分钟。具体解题过程如下。
解:4-1=3(次)
5×3=15(分钟)
答:需要15分钟。
【例3】植树节到了,山羊老师带着小动物们在学校围墙外种树。
从围墙的最北边到围墙的最南边一共种了6棵树,每2棵树之间相距4米,那么学校的围墙长多少米?(不考虑树所占长度)
【思路导航】根据题意得出下面的示意图。
在不考虑树所占长度的情况下,围墙的长度就是6棵树之间所有间隔的长度。
观察示意图发现,2棵树之间有1个间隔,3棵树之间有2个间隔……由此可知,间隔数=树的棵数-1。
所以,6棵树之间就有6-1=5(个)间隔。题中提到每2棵树之间的距离(间隔)为4米,那么5个间隔的长度(即学校围墙的长度)就是5个4米。
所以学校围墙的长度为20米。具体解答过程如下。
解:6棵树之间的间隔数:6-1=5(个)
围墙长度:4+4+4+4+4=20(米)或4×5=20(米)
答:学校的围墙长20米。
【例4】快过节了,小狮子准备在两座小房子之间每隔5米放1盆花(房子与花之间留有5米空距)。
已知两座小房子之间的距离是20米,那么,两座小房子之间总共需要放多少盆花?(不考虑花盆所占长度)
【思路导航】根据题意得出下面的示意图。
观察示意图发现,在放花时,房子和花之间也是有间隔的,所以本题间隔数与点数之间的关系与例3有所差别,即花的盆数(点数)=间隔数-1。
题中提到,每隔5米放1盆花,20米中含有4个5米,也就是说含有4个间隔,那么花的盆数就是4-1=3(盆)。具体解题过程如下。
解:间隔数:20÷5=4(个)
花的盆数:4-1=3(盆)
答:总共需要放3盆花。
【例5】小邱家住在7楼。一天,小邱和爸爸一起从1楼爬楼梯回家,小邱走得慢,爸爸上到3楼时,小邱刚上到2楼。
按照这个速度,爸爸到家时,小邱到几楼?
【思路导航】观察上面的图可知,小邱和爸爸从1楼开始同时爬楼梯,那么上楼时,爸爸从1楼上到3楼,其实是走了2层楼,小邱从1楼上到2楼其实是走了1层楼。
也就是说,爸爸每走2层楼,小邱就走1层楼。
已知小邱家在7楼,从1楼到7楼,爸爸总共走了6层楼,也就是3个2层楼,这时,小邱应该上到了4楼。具体解题步骤如下。
解:爸爸到达3楼上的楼层数:3-1=2(层)
小邱到达2楼上的楼层数:2-1=1(层)
爸爸上楼梯的速度比小邱上楼梯的速度快:2-1=2(倍)
爸爸到达7楼上的楼层数:7-1=6(层)
爸爸到达7楼时,小邱上的楼层数:6-2=3(层)
爸爸到达7楼时,小邱的位置:3+1=4(楼)
答:爸爸到家时,小邱到4楼。
【例6】小猫上楼梯,如果每上1层楼需要1分钟,那么从第一层楼上到第五层楼需要几分钟?
【思路导航】根据意得出下面的示意。
观察上面的图可知,小猫是从第一层开始上楼,那么它从第一层走到第二层其实是上了1层楼,从第一层走到第三层是上了2层楼……所以,小猫从第一层走到第五层,其实是上了4层楼,每上一层楼需要1分钟,那么上4层楼就需要4分钟。具体解题步骤如下。
解:上楼梯层数:5-1=4(层)
花费时间:1+1+1+1=4(分钟)或1×4=4(分钟)
答:需要4分钟
【例7】时钟在整点时会敲钟报时。假如3时整,时钟会敲3下钟,2秒完。那么7时整的时候,时钟敲7下钟,几秒敲完?(不考虑敲钟的时间)
【思路导航】根据题意,我们用线段表示敲钟次数和用时,得到下图。
从图中可以看出,间隔数=敲钟次数-1。因为敲3下钟有3-1=2(个)间隔,用时2秒,所以平均1个间隔用时就是2÷2=1(秒)。
敲钟7下,间隔数就是7-1=6(个),用时就是6×1=6(秒)。具体解题过程如下。
解:1个间隔的用时:2÷(3-1)=1(秒)
敲7下钟的间隔数:7-1=6(个)
敲7下钟的用时:6×1=6(秒)
答:6秒敲完。
【例8】了小动物们用鲜花装扮校园,它们把16盆鲜花摆放在圆形花坛上每两盆花之间间隔10厘米。
算一算,这个花坛一圈有多长?(不考虑花盆所占长度)
【思路导航】将16盆花摆放在圆形花坛上得到下图。
从图中可以看出,间隔数=花的盆数。题中提到总共有16盆花,那么总共就有16个间隔。
每个间隔是10厘米,那么总共就是16×10=160(厘米)。具体计算过程如下。
解:16×10=160(厘米)=1.6(米)
答:这个花坛一图有160厘米(或1.6米)长。
【例9】盈盈晾毛巾,每块毛巾的两边必须用夹子夹住,相邻两条毛巾共用1个夹子。那么,8条毛巾一共需要多少个夹子?
【思路导航】根据题意得出下图。
从图中可以看出:1条毛巾需要2个夹子;2条毛巾需要3个夹子;3条毛巾需要4个夹子……由此可知,夹子数=毛巾数+1。
那么,8条毛巾就需要8+1=9(个)夹子。具体解答过程如下。
解:8+1=9(个
答:8条毛巾一共需要9个夹子。
【例10】大象要把两块90厘米长的木板接成一块术版。中间钉在一起的重叠部分是10厘米,那么钉成的木板有多长?
【思路导航】根据题意得出下图。
从图中可以看出:两块木板钉在一起,钉在一起的部分就是重叠部分,两块木板原长度之和为90+90=180厘米,但由于重叠了10厘米,就是少了10厘米,所以钉在一起的木板长度为180-10=170(厘米)。具体解答过程如下。
解:90+90-10=170(厘米)=1.7(米)
答:钉成的木板长170厘米(或1.7米)。
数学改变科技，向数学出发。
